Ein­fa­cher nu­me­ri­scher Zugang zur Feh­ler­fort­pflan­zung (Teil 2 von 2)

In der Fortsetzung des Beitrags zur Fehlerfortpflanzung vom 9. Dezember geht es diese Woche um praktische Anwendungen aus dem Unterricht.

Fehlerfortpflanzung in der Physik

Betrachten wir ein typisches Beispiel aus dem Physikunterricht, ein Fadenpendel. Wir vergleichen das Gauss’sche Fehlerfortpflanzungsgesetz mit dem letzte Woche präsentierten Ansatz.

Problem: Für ein Fadenpendel gilt zwischen Erdbeschleunigung g, Fadenlänge l, und Periode T der folgende Zusammenhang g = 4π²lT⁻² . Bestimmen Sie aus (l ± Δl) = (1.00 ± 0.05) und (T ± ΔT) =
(2.0 ± 0.2) den Fehler Δg?

Wie Abb. 5 zeigt, ist dies keine Normalverteilung (Schiefe/Skewness = 0.0 und Wölbung/Kurtosis = 3.0) und darum gibt die Gauss’sche Fehlerfortpflanzung in diesem Fall mit (9.870 ± 2.035) (Varianz: 4.140) eine falsche Antwort.

Weder der Mittelwert noch die Varianz sind korrekt. Das ist nicht überraschend, berücksichtigt man die Tatsache, dass die Gauss’sche Fehlerfortpflanzung eine Approximation erster Ordnung und damit linear ist (1. Glied der Taylor-Reihe). Der T ⁻² Term kann nicht akkurat approximiert werden. Dennoch funktioniert diese Approximation für kleine Fehler in den kritischen Termen gut. Das bedeutet, sofern der Fehler in T klein ist, kann er im linearen Term l auch grösser sein [e] und trotzdem ist das Resultat korrekt, z.B. mit ( l ±Δ l ) = (1.00±0.2) und (T ±ΔT ) = (2.0±0.05).

Das Resultat stimmt nun wegen des kleinen Fehlers im nicht-linearen Teil T viel besser mit der Gauss’schen Fehlerfortpflanzung überein; (9.870 ± 2.035) (Varianz: 4.140).

Als weiteres Beispiel betrachten wir die Messung eines elektrischen Widerstands.

Problem: Bestimmen Sie aus (U ± ΔU) = (1.0 ± 0.01) und (I ± ΔI) = (0.02 ± 0.002) den Widerstand, sowie dessen Fehler (R ± ΔR)?

Es zeigt sich in Abb. 8 eine leichte Abweichung von der Normalverteilung, und auch hier führt der Fehler im nicht-linearen Term I zu Problemen, wie in der Übersicht in Abb. 9 zu sehen ist.

Meine Erfahrung zeigt, dass die Intuition für symmetrische Verteilungen gut ist, aber in Fällen von unsymmetrischen Verteilungen, die z.B. bei Operationen der 2. Stufe auftreten, versagt sie in vielen Fällen.

Schlusswort

Die Arbeit mit fehlerbehafteten Grössen ist anspruchsvoll. Moderne Methoden wie die Verwendung computergestützter, vektorisierter Berechnungen ermöglichen es, im Rahmen von Monte-Carlo-Simulationen diese Grössen als Wahrscheinlichkeitsverteilungen darzustellen und so entlang der ganzen Berechnung zu verfolgen, wie sie sich verändern. Der Aufwand dafür ist minimal, da die Berechnungen nicht angepasst werden müssen, stattdessen können einfach die skalaren Ausgangsgrössen durch Listen von Stichproben ersetzt werden.

Als Beispiel seien hier Anwendungen erwähnt aus dem Ingenieurwesen zur Analyse der Bereiche, in denen sich Parameter verändern oder bei physikalischen Experimenten, um zu verstehen, wie gross der Einfluss verschiedener Messgrössen auf das Ergebnis und die Auflösung sind. Generell können auch mathematische Simulationen gemacht werden, um zu verstehen, wie sich Wahrscheinlichkeitsverteilungen unter mathematischen Operationen verhalten.

Die Ausführungen hier zeigen insbesondere, dass die Gauss’sche Fehlerfortpflanzung sicher ein nützliches Werkzeug ist, die Grenzen der Anwendbarkeit aber subtil sind. Konkret darf es für Terme, die nicht linear sind, nur beschränkt und für kleine Fehler verwendet werden. Also solange die resultierende Verteilung eine Gauss-/Normalverteilung ist [f].

Für die praktische Anwendung und einfache Tests kann ich die Online-Applikation NIST Uncertainty Machine [2] empfehlen. Für die Umsetzung im Unterricht ist Python [3] eine gute Möglichkeit. Es gibt verschiedenste Pakete, die vektorisierte Berechnungen erlauben [4], Monte-Carlo-Simulationen durchführen [5] oder auch Modelle von Differentialgleichungen anhand von posteriori Daten detailliert analysieren können [6]. Für die automatische Berechnung der Gauss’schen Fehlerfortpflanzung gibt es ebenso frei verfügbare Lösungen [7].

Alle in diesem Artikel gezeigten Beispiele sind in einem frei verfügbaren Notebook zusammengefasst [9] und zur einfachen Nachvollziehbarkeit vorgerechnet.

Anmerkungen

[e] Der Fehler Δl kann tatsächlich 50% und mehr sein, das wurde hier aber aufgrund der Übersichtlichkeit nicht dargestellt.
[f ] «Das Gesetz ist nur anwendbar, wenn sich die Modellfunktion […] bei Änderungen der Einflussgrössen […] im Bereich ihrer Standardunsicherheiten […] hinreichend linear verhält. Ist dies nicht der Fall, ist das Rechenverfahren erheblich aufwändiger. Die Norm DIN 1319[3] und der ’Leitfaden zur Angabe der Unsicherheit beim Messen’ geben Hinweise, wie eine unzulässige Nichtlinearität zu erkennen und zu umgehen ist. Ausserdem ist Varianzhomogenität vorausgesetzt.» [8]

Links

[2] NIST Uncertainty Machine (uncertainty.nist.gov), Version 1.6.2
[3] python (www.python.org)
[4] NumPy (numpy.org)
[5] mcerp: Monte Carlo error propagation (pythonhosted.org/mcerp)
[6] Chaospy: uncertainty quantification using polynomial chaos expansions (chaospy.readthedocs.io)
[7] Uncertainties: a Python package for calculations with uncertainties (pythonhosted.org/uncertainties)
[8] Wikipedia: Fehlerfortpflanzung
[9] IPython Notebook mit Beispielen (gitlab.com/ursin-soler/vsmp-bulletin_fehlerfortpflanzung)

Hier gibt es den Blog «Einfacher numerischer Zugang zur Fehlerfortpflanzung Teil 1» zu lesen