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Der Kosmos und dessen Naturgesetze können erstaunlich komplex sein. Während sich die Mathematik mit allem Denkbaren befasst und so nur an die Grenzen der Logik und der Fantasie gebunden ist, hat sich die Physik das einschränkende Ziel gesetzt, die Natur um uns herum abzubilden und befasst sich darum mit dem Beobacht- und Messbaren. Hier liegt eine der grossen Stärken, aber auch eines der grossen Probleme der Physik.
In der Physik gibt es die Möglichkeit, Experimente durchzuführen, um Antworten zu finden, allerdings müssen dazu auch Messungen gemacht werden und diese unterliegen - in der uns zur Verfügung stehenden Natur - der Streuung und Fehlern. Diese Messfehler nötigen uns, die Methoden der Statistik anzuwenden, um Einsicht in die Zusammenhänge zu erhalten.
Einleitung / Motivation
Als Dozent an der FH Graubünden kann ich sagen, den meisten unserer Studierenden geht es gleich wie mir; Messergebnisse (statistisch) zu interpretieren birgt Tücken. Allzu häufig ignorieren wir die komplexen und subtilen Details und kommen mit einer einfachen, schnellen Messung davon. Sollte das doch nicht reichen, gibt es die Allzweckwaffen Mittelwert und Varianz. Damit begeben wir uns - oft unbewusst - in das Reich der Normalverteilung. Dies reicht in sehr vielen Fällen aus, aber fussen die Probleme tiefer - haben wir es mit anderen Verteilungen zu tun - reicht ein Kratzen an der Oberfläche nicht mehr aus.
Einer der Schlüsselmomente für mich war die Erkenntnis, dass das Gauss’sche Fehlerfortpflanzungs-
gesetz sehr schnell an Grenzen stösst. Die Gauss’sche Fehlerfortpflanzung ist häufig das obere Limit, das Studierende gewinnbringend einsetzen können. Darum stellt sich die Frage, ob es einfachere Methoden und Zugänge gibt, diese Zusammenhänge abzubilden und verstehbar zu machen.
Grundrechenoperationen mit Würfeln
Mit der Einführung von Computern und Skript- sowie Programmiersprachen, die vektorisiert auf N Werten genauso rechnen können, wie skalar auf einzelnen Grössen, haben wir ein sehr mächtiges Werkzeug erhalten [1]. Nutzen wir dieses zur Betrachtung der Grundrechenoperationen, indem wir zuerst N Werte aus einer gegebenen Verteilung als Liste speichern und statt mit einzelnen Werten mit dieser Liste (Stichprobe) arbeiten [a]. Wichtig dabei ist, wie wir die Stichprobe erzeugen, gute Ergebnisse lassen sich mit dem Latin hypercube sampling (LHS) erzielen [5].
Angenommen wir haben zwei Grössen, deren Werte nicht exakt bekannt sind, sondern die gleichverteilt innerhalb eines gegebenen Intervalls liegen, z.B. zwei Würfel und die dazugehörigen Listen von Werten A und B.
Problem: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer bestimmten Augenzahl bei einem Würfel (A oder B)?
Die Verteilungen A und B sind nicht korreliert und zur besseren Veranschaulichung kleiner Unterschiede sowie zur Verallgemeinerung werden kontinuierliche Variablen verwendet [b].
Die Frage danach, wie sich diese Grössen und deren Verteilung unter einfachen arithmetischen Operationen der 1. und 2. Stufe verhalten, führt zu interessanten Erkenntnissen.
Problem: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer bestimmten Summe der Augenzahl bei zwei Würfeln (A + B)?
Wir müssen nichts weiter tun als die beiden Listen für A und B elementweise zu addieren. Der Mittelwert [c] verhält sich so, wie sich die Addition der (exakten) skalaren Werte verhält (also ohne Streuung); es ist 3.5 + 3.5 = 7.0. Allerdings ist die Verteilung nun nicht mehr gleichförmig sondern dreieckig [d]. Das ist entscheidend; die Verteilung für A + B verhält sich grundsätzlich anders als diese von A oder B. Die Verteilung von A + B ist symmetrisch.
Für die Subtraktion A − B erhalten wir dasselbe Verhalten mit einem Mittelwert von 0.0, weil −1 multipliziert mit B die Verteilung an der y-Achse spiegelt. Die Multiplikation führt zu folgendem
Problem: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines bestimmten Produkts der Augenzahl bei zwei Würfeln?
Wie in Abb. 3 zu sehen, ist die Verteilung von A · B nicht mehr symmetrisch, sondern zeigt höhere Wahrscheinlichkeiten für Werte, die kleiner sind als der Mittelwert. Das bedeutet, in so einem Experiment werden wir häufiger Werte erhalten, die kleiner sind als der Mittelwert und nur vereinzelt grössere Werte, bis zu ca. 3 Mal so gross wie der Mittelwert (maximal 36).
Problem: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines bestimmten Quotienten der Augenzahl bei zwei Würfeln?
Im Falle der Division zeigt sich ein ähnliches Verhalten wie bei der Multiplikation.
Sicher sagen können wir, dass diese Verteilungen nicht mehr gleichförmig sind und im Falle der 2. Stufe asymmetrisch werden, so dass im Experiment der Eindruck entstehen kann, dass der Mittelwert kleiner ist (das Maximum der PDF) weil einzelne grössere Werte aufgrund der Seltenheit Gefahr laufen, als Ausreisser klassifiziert und aussortiert zu werden.
Das war Teil eins des Blogs «Einfacher nummerischer Zugang zur Fehlerfortpflanzung». Neugierig wie es weiter geht? Am 16. Dezember erscheint der zweite Teil, in dem wir uns tiefer mit der Fehlerfortpflanzung und deren praktische Anwendung in der Physik befassen werden.
Hier gibt es weitere Blogs der FH Graubünden.
Anmerkungen
[a] Dieses Vorgehen entspricht einer Monte-Carlo-Simulation.
[b] Reelle Zahlen bzw. Float-Variablen statt ganze Zahlen bzw. Integer-Variablen.
[c] Als Approximation zum Erwartungswert wird im Sinne des Gesetzes der grossen Zahlen der Mittelwert der Stichproben verwendet.
[d] Die Summe von unabhängigen gleichverteilten Zufallsvariablen auf dem Intervall [0;1] ist eine Irwin-Hall-Verteilung, sie nähert sich der Normalverteilung an (Zentraler Grenzwertsatz)
Quellverzeichnis
[1] V. Tsoutsouras et al.: The Laplace Microarchitecture for Tracking Data Uncertainty and Its Implementation in a RISC-V Processor (doi.org/10.1145/3466752.3480131)
[5] mcerp: Monte Carlo error propagation (pythonhosted.org/mcerp)
Titelbild
Ursin Solèr, Dozent FH Graubünden, Institut für Photonics und Robotics (IPR)